Anisotropic media with singular slowness surfaces
It is proved that if an anisotropic medium has an open set of singular directions, then this medium has two slowness surfaces that completely coincide. The coinciding slowness surfaces form one double singular slowness surface. The corresponding anisotropic medium is an elliptical orthorhombic (ORT)...
Збережено в:
| Видавець: | Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine |
|---|---|
| Дата: | 2024 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English |
| Опубліковано: |
Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine
2024
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/298656 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Організація
Geofizicheskiy Zhurnal| id |
journalsuranua-geofizicheskiy-article-298656 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Geofizicheskiy Zhurnal |
| collection |
OJS |
| language |
English |
| topic |
singular point singular surface phase velocity Christoffel matrix elliptical orthorhombic medium сингулярна точка сингулярна поверхня матриця Крістофеля еліптичне орторомбічне середовище |
| spellingShingle |
singular point singular surface phase velocity Christoffel matrix elliptical orthorhombic medium сингулярна точка сингулярна поверхня матриця Крістофеля еліптичне орторомбічне середовище Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. Anisotropic media with singular slowness surfaces |
| topic_facet |
singular point singular surface phase velocity Christoffel matrix elliptical orthorhombic medium сингулярна точка сингулярна поверхня матриця Крістофеля еліптичне орторомбічне середовище |
| format |
Article |
| author |
Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. |
| author_facet |
Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. |
| author_sort |
Roganov, Yu.V. |
| title |
Anisotropic media with singular slowness surfaces |
| title_short |
Anisotropic media with singular slowness surfaces |
| title_full |
Anisotropic media with singular slowness surfaces |
| title_fullStr |
Anisotropic media with singular slowness surfaces |
| title_full_unstemmed |
Anisotropic media with singular slowness surfaces |
| title_sort |
anisotropic media with singular slowness surfaces |
| title_alt |
Анізотропні середовища з сингулярними поверхнями повільності |
| description |
It is proved that if an anisotropic medium has an open set of singular directions, then this medium has two slowness surfaces that completely coincide. The coinciding slowness surfaces form one double singular slowness surface. The corresponding anisotropic medium is an elliptical orthorhombic (ORT) medium with equal stiffness coefficients c44=c55=c66 rotated to an arbitrary coordinate system. Based on the representation of the Christoffel matrix as a uniaxial tensor and considering that the elements of the Christoffel matrix are quadratic forms in the components of the slowness vector, a system of homogeneous polynomial equations was derived. Then, the identical equalities between homogeneous polynomials are replaced by the equalities between their coefficients. As a result, a new system of equations is obtained, the solution of which is the values of the reduced (density normalized) stiffness coefficients in a medium with a singular surface. Conditions for the positive definite of the obtained stiffness matrix are studied. For the defined medium, the Christoffel equations and equations of group velocity surfaces are derived. The orthogonal rotation matrix that transforms the medium with a singular surface into an elliptic ORT medium in the canonical coordinate system is determined. In the canonical coordinate system, the slowness surfaces S1 and S2 waves coincide and are given by a sphere with a radius . The slowness surface of qP waves in the canonical coordinate system is an ellipsoid with semi-axes , , . The polarization vectors of S1 and S2 waves can be arbitrarily selected in the plane orthogonal to the polarization vector of the qP wave. However, the qP wave polarization vector can be significantly different from the wave vector. This feature should be taken into account in the joint processing and modelling of S and qP waves. The results are illustrated in one example of an elliptical ORT medium. |
| publisher |
Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine |
| publishDate |
2024 |
| url |
https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/298656 |
| work_keys_str_mv |
AT roganovyuv anisotropicmediawithsingularslownesssurfaces AT stovasa anisotropicmediawithsingularslownesssurfaces AT roganovvyu anisotropicmediawithsingularslownesssurfaces AT roganovyuv anízotropníseredoviŝazsingulârnimipoverhnâmipovílʹností AT stovasa anízotropníseredoviŝazsingulârnimipoverhnâmipovílʹností AT roganovvyu anízotropníseredoviŝazsingulârnimipoverhnâmipovílʹností |
| first_indexed |
2024-04-21T19:20:49Z |
| last_indexed |
2024-04-21T19:20:49Z |
| _version_ |
1804810594438610944 |
| spelling |
journalsuranua-geofizicheskiy-article-2986562024-02-25T11:26:57Z Anisotropic media with singular slowness surfaces Анізотропні середовища з сингулярними поверхнями повільності Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. singular point singular surface phase velocity Christoffel matrix elliptical orthorhombic medium сингулярна точка сингулярна поверхня матриця Крістофеля еліптичне орторомбічне середовище It is proved that if an anisotropic medium has an open set of singular directions, then this medium has two slowness surfaces that completely coincide. The coinciding slowness surfaces form one double singular slowness surface. The corresponding anisotropic medium is an elliptical orthorhombic (ORT) medium with equal stiffness coefficients c44=c55=c66 rotated to an arbitrary coordinate system. Based on the representation of the Christoffel matrix as a uniaxial tensor and considering that the elements of the Christoffel matrix are quadratic forms in the components of the slowness vector, a system of homogeneous polynomial equations was derived. Then, the identical equalities between homogeneous polynomials are replaced by the equalities between their coefficients. As a result, a new system of equations is obtained, the solution of which is the values of the reduced (density normalized) stiffness coefficients in a medium with a singular surface. Conditions for the positive definite of the obtained stiffness matrix are studied. For the defined medium, the Christoffel equations and equations of group velocity surfaces are derived. The orthogonal rotation matrix that transforms the medium with a singular surface into an elliptic ORT medium in the canonical coordinate system is determined. In the canonical coordinate system, the slowness surfaces S1 and S2 waves coincide and are given by a sphere with a radius . The slowness surface of qP waves in the canonical coordinate system is an ellipsoid with semi-axes , , . The polarization vectors of S1 and S2 waves can be arbitrarily selected in the plane orthogonal to the polarization vector of the qP wave. However, the qP wave polarization vector can be significantly different from the wave vector. This feature should be taken into account in the joint processing and modelling of S and qP waves. The results are illustrated in one example of an elliptical ORT medium. У статті доведено, що в анізотропному середовищі з відкритою множиною сингулярних напрямків існують дві поверхні повільності, які повністю збігаються. Відповідне анізотропне середовище є еліптичним орторомбічним (ОРТ) середовищем з однаковими коефіцієнтами пружності c44=c55=c66. На підставі зображення матриці Крістофеля у вигляді одновісного тензора та врахування, що елементами матриці Крістофеля є квадратичні форми від компонент вектора повільності, складено систему однорідних поліноміальних рівнянь, справедливих для всіх векторів повільності. Тотожну рівність поліномів у системі рівнянь замінено на рівність їх коефіцієнтів. У результаті отримано нову систему рівнянь, коренями якої є значення зведених коефіцієнтів пружності. Досліджено умови позитивного визначення отриманої матриці пружності. Для знайденого анізотропного середовища виведено рівняння Крістофеля та рівняння поверхонь групових швидкостей. Визначено ортогональну матрицю повороту отриманого еліптичного ОРТ-середовища в канонічну систему координат. Показано, що в канонічній системі координат поверхні повільності S1- та S2-хвиль збігаються між собою та є сферою з радіусом . Поверхня повільності qP-хвилі для цього середовища в канонічній системі координат є еліпсоїдом з півосями , , . Вектори поляризації S1- і S2-хвиль можна довільно вибирати в площині, ортогональній вектору поляризації qP-хвилі. Проте вектор поляризації qP-хвилі може істотно відрізнятися від хвильового вектора. Цю особливість слід враховувати в разі спільної обробки та моделювання S- і qP-хвиль. Результати статті продемонстровані на одному прикладі еліптичного ОРТ-середовища. Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine 2024-02-25 Article Article application/pdf https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/298656 10.24028/gj.v46i1.298656 Geofizicheskiy Zhurnal; Vol. 46 No. 1 (2024) Геофизический журнал; Том 46 № 1 (2024) Геофізичний журнал; Том 46 № 1 (2024) 2524-1052 0203-3100 en https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/298656/291516 Copyright (c) 2024 Yu.V. Roganov, A. Stovas, V.Yu. Roganov https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0 |