Потужність сімейства еліптичних кривих, що ізоморфні кривим Едвардса над простим полем
Наукові журнали НАУ
Переглянути архів Інформація| Поле | Співвідношення | |
| Title |
Потужність сімейства еліптичних кривих, що ізоморфні кривим Едвардса над простим полем
Мощность семейства эллиптических кривых, изоморфных кривым эдвардса над простым полем The cardinal number of elliptic curves which are isomorphic to edwards curves over a prime field |
|
| Creator |
Бессалов, Анатолій Володимирович; НТУУ «КПІ».
Діхтенко, Аліса Анатоліївна; ДонНУ Циганкова, Оксана Валентинівна; НТУУ «КПІ» |
|
| Subject |
Інформаційна безпека
канонічна еліптична крива; крива Едвардса; крива кручіння; параметри кривої; ізоморфізм; квадратичний лишок; квадратичний нелишок УДК 681.3.06 Информационная безопастность каноническая эллиптическая кривая; кривая Эдвардса; кривая кручения; параметры кривой; изоморфизм; квадратичный вычет; квадратичный невычет УДК 681.3.06 Information Security canonical elliptic curve; Edwards curve; curve twist; curve parameters; isomorphism; quadratic residue; quadratic non-residue UDK 681.3.06 |
|
| Description |
Форма Едвардса еліптичної кривої має низку переваг, як перед канонічними кривими, так і перед іншими відомими формами представлення еліптичних кривих. Головна з них — рекордна швидкодія. Подвійна координатна симетрія, що характерна для будь-якої кривої Едвардса над простим полем, обумовлює наявність мінімального кофактору 4 в її порядку. Таким чином, проблема пошуку кривої Едвардса зводиться до задачі побудови ізоморфної канонічної кривої з єдиною точкою 2-го порядку та двома точками 4-го порядку. В роботі поставлена задача визначення точного числа таких кривих над простим полем. Для розв’язання даної задачі в роботі запропонований підхід, що оснований на заміні параметрів (a, b) канонічної кривої парою параметрів (a, c), де с — єдиний в полі корінь кубічного рівняння. Як умови існування двох точок 4-го порядку, отримана система двох лінійних рівнянь, що зв’язують невідомі параметри с2 та а потрібної кривої та довільні значення квадратичних лишків (нелишків) поля. Далі в роботі доведені дві леми в теорії квадратичних лишків, яка побудована на схемі Гауса. Базуючись на запропонованому підході та доведених лемах отримані точні формули розрахунку числа еліптичних кривих з ненульовими параметрами а та b та двома точками 4-го порядку, ізоморфних кривим Едвардса над простим полем. Вони визначають точне число кривих Едвардса. В роботі описаний простий алгоритм пошуку канонічних кривих, ізоморфних кривим Едвардса. Доведено,що для великих полів відносна доля таких кривих близька до 1/4.
Форма Эдвардса эллиптической кривой обладает рядом преимуществ, как перед каноническими кривыми, так и перед другими известными формами представления эллиптических кривых. Главное из них — рекордное быстродействие. Двойная координатная симметрия, характерная для любой кривой Эдвардса над простым полем, обуславливает наличие минимального кофактора 4 в ее порядке. Так, проблема поиска кривой Эдвардса сводится к задаче построения изоморфной канонической кривой с единственной точкой 2-го порядка и двумя точками 4-го порядка. В работе поставлена задача определения точного числа таких кривых над простым полем. Для решения данной задачи в работе предложен подход, основанный на замене параметров (а, Ь) канонической кривой парой параметров (а, с), где с — единственный в поле корень кубического уравнения. Как условия существования двух точек 4-го порядка, получена система двух линейных уравнений, связывающих неизвестные параметры с2 и а искомой кривой и произвольные значения квадратичных вычетов (невычетов) поля. Далее в работе доказаны две леммы в теории квадратичных вычетов, построенной на схеме Гаусса. На основе предложенного подхода и доказанных лемм получены точные формулы расчета числа эллиптических кривых с ненулевыми параметрами а и Ь и двумя точками 4-го порядка, изоморфных кривым Эдвардса над простым полем. Они определяют точное число кривых Эдвардса. В работе описан простой алгоритм поиска канонических кривых, изоморфных кривым Эдвардса. Доказано, что для больших полей относительная доля таких кривых близка к The Edwards form of elliptic curve has advantages over canonical curves as well as over the other known forms of elliptic curves representations. Speed record is the main of them. Double symmetry of coordinates, which is typical for each Edwards curve over a prime field, leads to existence of the smallest cofactor 4 in the order of the curve. Thus, the problem of finding an Edwards curve is reduced to constructing an isomorphic canonical curve with the only point of order 2 and a couple of points of order 4. The problem of defining precise number of such curves is posed in this work. The approach, which is based on a parameters’ substitution is proposed. A canonical curve parameters pair (a, b) is replaced by (a, c), where c is the only root of a cube equation in the field. A system of two linear equations is obtained as the conditions for existence of two points of order 4. The equations bind the unknown parameters с2 and a of the curve and the field quadratic residues (non-residues) arbitrary values. Two lemmas are proved in the quadratic residues theory, which is constructed on the Gauss scheme. Basing on the approach and the lemmas, precise formulas are obtained for counting the number of elliptic curves, which are isomorphic to Edwards curves over the prime field and have non-zero a and b parameters and a pair of points of order 4 as well. The formulas define precise number of Edwards curves. An easy algorithm is described to find canonical curves isomorphic to Edwards curves. It is proved that the rate of such curves for large fields is close to 1/4 |
|
| Publisher |
Національний авіаційний університет
|
|
| Contributor |
—
— — |
|
| Date |
2014-05-23
|
|
| Type |
—
— — |
|
| Format |
application/pdf
|
|
| Identifier |
http://jrnl.nau.edu.ua/index.php/ZI/article/view/6269
|
|
| Source |
Защита информации; Том 16, № 1 (2014); 23-29
Захист інформації; Том 16, № 1 (2014); 23-29 Ukrainian Information Security Research Journal; Том 16, № 1 (2014); 23-29 |
|
| Language |
ru
|
|
| Rights |
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами: Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
Авторы, публикующие в данном журнале, соглашаются со следующим: Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным сохранением ссылок на авторов оригинальной работы и оригинальную публикацию в этом журнале.Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоронности, касающиеся не-эксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге), со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.Авторы имеют право размещать их работу в сети Интернет (например в институтском хранилище или персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу (См. The Effect of Open Access). Authors who publish with this journal agree to the following terms: Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access). |
|