Запис Детальніше

ПРОСТОЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗВРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Електронний архів E-archive DonNTU – (Electronic archive Donetsk National Technical University)

Переглянути архів Інформація
 
 
Поле Співвідношення
 
Title ПРОСТОЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗВРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
A Simple Method of Return Integrals Calculation
Простий метод розрахунку зворотних інтегралів
 
Creator Мироненко, Л.П.
Гоголева, Н.Ф.
Mironenko, L.P.
Gogoleva, N.F.
Мироненко, Л.П.
Гоголєва, Н.Ф.
 
Subject зворотні інтеграли
інтегрування по частинах
формула Ейлера
інтегрування
return integrals
integration by parts
Euler’s formula
integration
complex variable
возвратные интегралы
интегрирование по частям
формула Эйлера
интегрирование
 
Description The purpose of the paper is to simplify the calculation of the so called return integrals
sin log
cos log
,
sin
cos
dx
bx
bx
dx
x
x
a
a
x a   


  
  
  

 
where  , .a,b.a  1,a  0 are given real numbers (parameters).
In mathematical analysis return integrals are calculated using integration by parts. It is a well known fact that such integrals are calculated applying this method twice. As a result we have an equation relative to the initial integral, which is easily solved.
Our idea of evaluating such integrals was taken from operation calculus. Using Euler’s formula ei  cos  isin returned integrals can be reduced to exponential function integration. Here we
provide a simple example:
ex cosxdx  C
i
e dx e
x i x
x i x 



   
 
Re   Re .
It is obvious that integration is performed without the method of integration by parts.
A more complicated case is as follows:
1
cos ln sin ln exp ln
1
C
i
bx dx i bx dx i bx ddx bx dx bx
i i 

   

   
The last step of problem solution is to separate real and imaginary parts of the expression.
The method can be used for more complex integrals such as
 
 
 
  ,
sin log
cos log
,
sin
cos
dx
bx
bx
dx x
x
x
x a
a
n x n a   


  
  
  

  n  1,2.3,....
To calculate the first group of integrals we use the method of differentiation by parameter. For the second group we apply the following transformation
( 1)ln  .
1 ( 1) ln
ln
( 1)ln
ln
( 1)ln
ln
cos log sin log
1 log
2 2
1 1 ln
ln ln
log ln ln
x e n a i C
n a
a
x bx C
i n a
b x C a
i n a
a
I iJ x bx dx i x bx dx x e dx b x dx
n i bx
a
i
n n
a
i
a
i
n
a
i
a
i
n i bx
a
n
a
n
n n
a
a
  
 

 
 
 
 

     

  
    
The integrals have been calculated completely, though it is a really complicated problem for the
method of integration by parts.
In integration by parts such integrals are a complicated problem. Our theory eliminates this problem, though there remain some difficulties with separation of real and imaginary parts of a complex variable function.
Целью работы является существенное упрощение вычисления, так называемых возвратных
интегралов, рассматриваемых в интегральном исчислении при изучении метода интегрирования по частям. Используя формулу Эйлера, возвратные интегралы вычисляются без привлечения метода интегрирования по частям. Предложенный подход может быть использован для вычисления интегралов, относящихся к другим классам интегралов.
 
Date 2013-09-16T10:25:15Z
2013-09-16T10:25:15Z
2013
 
Type Article
 
Identifier Наукові праці Донецького національного технічного університету. Серія: Обчислювальна техніка та автоматизація. Випуск 1 (24). - Донецьк, ДонНТУ, 2013. С - 127-131
2075-4272
УДК 51 (071)
http://ea.donntu.edu.ua/handle/123456789/22580
 
Publisher Донецький національний технічний університет